Ряды Тейлора основных элементарных функций. Их сходимость

- $e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!},~~(- \infty ; +\infty)$ - $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^{n},~~(- \infty ; +\infty)$ - $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}(-1)^{n},~~(- \infty ; +\infty)$ - $\ln(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n}(-1)^{n+1},~~(-1 ; 1]$ - $(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - n + 1)}{n!} x^{n},~~(-1 ; 1)$

- Для $(1+x)^{\alpha} \mathpunct{:}~~$ $(1-x)^{\alpha} =a x^{n},$ где $a = \dfrac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - n + 1)}{n!}$ $| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} | = | \dfrac{\alpha-n}{n+1} x | \to |x|$ по признаку Даламбера Если $|x| < 1~-$ ряд сходится, $|x| > 1~-$ расходится - Для $e^{x} \mathpunct{:}~~$ $a_n = \dfrac{x^n}{n!}$ $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{x}{n+1}\right| \to 0$ при $n \to \infty$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Значит, ряд сходится при всех $x \in \mathbb{R}$, область сходимости: $(-\infty; +\infty)$. - Для $\sin x\mathpunct{:}~~$ $a_n = \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$ $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{x^2}{(2n+3)(2n+2)}\right| \to 0$ при $n \to \infty$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Значит, область сходимости: $(-\infty; +\infty)$. - Для $\cos x\mathpunct{:}~~$ $a_n = \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}(-1)^n$, $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{x^2}{(2n+2)(2n+1)}\right| \to 0$ при $n \to \infty$. Область сходимости: $(-\infty; +\infty)$. - Для $\ln(x+1)\mathpunct{:}~~$ $a_n = \dfrac{x^n}{n}(-1)^{n+1}$, $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{xn}{n+1}\right| \to |x|$ при $n \to \infty$. Радиус сходимости $R = 1$. - При $x = 1$: знакочередующийся гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ сходится условно - При $x = -1$: гармонический ряд $-\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ расходится Область сходимости: $(-1; 1]$.